AEROTRIANGULACION ANALITICA. METODOLOGIAS
y APLICACIONES

Septiembre de 1995

Agustín del Prado Santaengracia.
Jefe Fotogrametría y Geodesia. Empresa Nacional de Electricidad
(ENDESA).

1.
Introducción

La aerotriangulación consiste en la
determinación de puntos en el terreno u objeto a tratar mediante
métodos fotogramétricos.

La
principal aplicación consiste en la determinación del canevás de
restitución, es decir, conseguir el suficiente número de
puntos de apoyo para poder orientar absolutamente todos los pares
estereoscópicos que intervengan en un proyecto cartográfico.

En cuanto
al proyecto cartográfico las principales ventajas serían:

-
Considerable disminución de los puntos de apoyo a determinar en
campo, con el consiguiente abaratamiento de esta parte del proceso.

-
Homogeneización de todo el bloque fotogramétrico,
siendo primordial esta parte en todo proyecto cartográfico. La
posibilidad de poder eliminar las probables fuentes de error en las fases
de restitución y edición debidas a problemas de homogeneidad
en el apoyo tradicional (pocos puntos, mala geometría, problemas de
identificación, diversidad de fiabilidad en cuanto a la
medición topográfica de los p.a ... etc) representa un notable abaratamiento de costes en
todas las restantes fases del proyecto.

Sin
embargo al ser una metodología de gran fiabilidad y precisión
su aplicación se extiende a otros campos, como son:

-
Densificación de redes geodésicas.

- Control de deformaciones en grandes y pequeñas superficies.

- Control de deformaciones estructurales.

- Modelización terrestre (ej. industria
aeronáutica y del automóvil).

- Transformaciones de coordenadas.

Como la
formulación matemática de todas las ecuaciones de
observación que intervienen en la aerotriangulación,
así como el ajuste de observaciones por el método de los
mínimos cuadrados, se encuentran perfectamente descritos y
desarrollados en todos los manuales fotogramétricos,
nos centraremos en describir las fases del proceso, su diferente
metodología, estudios de precisiones reales que pueden dar una idea
de sus correctas aplicaciones y de las nuevas metodologías
actualmente en uso.

2.
Proceso de la aerotriangulación

Las fases
de la aerotriangulación, las dividiremos
de la siguiente manera:

-
Preparación.

- Medición.

- Compensación.

2.1.
Preparación

Esta fase
consistirá en la distribución de los puntos de apoyo y
marcado de los puntos de enlace entre modelos y pasadas.

2.1.1.
Distribución de los puntos de apoyo

Las
experiencias prácticas demuestran que en planimetría, un
bloque apoyado exclusivamente en sus cuatro esquinas, apenas presenta
dispersión de errores en su interior, encontrándose estos en
los bordes según la siguiente figura:

Esto
quiere decir que sólo necesitaremos, en cuanto a apoyo planimétrico, el tener bien apoyados los bordes
del bloque por muy grande que este sea. El intervalo de puntos dados en los
bordes oscilará entre 2 y 10 modelos, dependiendo de la
aplicación de nuestro trabajo. En el apartado 1 se presentan en
gráficos muy representativos, las investigaciones realizadas por los
profesores Ackermann y Ebner
en cuanto a la precisión de un bloque dependiendo de la
distribución del apoyo. En estos gráficos el valor de sigma naught representa el error medio cuadrático para
una observación aislada en el ajuste final del bloque, pudiendo
llegar este valor en bloques normales y compensados por modelos
independientes a 10 mm.
En bloques especiales y mediante el uso de la compensación por haces
de rayos, este valor se puede reducir a 3 mm.

En cuanto
al apoyo altimétrico, se cumple lo mismo que para el apoyo planimétrico, si bien, en este caso será
necesario el dotar al bloque de cadenas altimétricas en su interior
que podrán reducirse notablemente e incluso eliminarse empleando
pasadas transversales, datos auxiliares (puntos lago, estetoscopio, APR,
GPS) o gran recubrimiento transversal.

2.1.2..
Distribución y marcado de los puntos de enlace

Además
de que los puntos de enlace son aquellos a los que la aerotriangulación
dará coordenadas, su correcta distribución nos permita la
total consistencia del bloque y la obtención de los resultados
buscados.

La
correcta distribución basada en la experiencia sería:

2.2.
Medición

Esta,
desde el punto de vista analítico, deberá realizarse en un
comparador, bien sea monoscópico,
estereoscópico o un restituidor analítico.

El
resultado final consistirá en tener las coordenadas imagen de todos
los puntos (apoyo y enlace) que aparecen en los fotogramas. Si el
método de posterior compensación es el de modelos
independientes, se realizará el cálculo de la orientación
relativa de cada uno de los modelos.

3.
Compensación

Debido a
que los métodos de compensación polinomial
se encuentran en desuso, pasaremos a describir los de rigurosa
compensación en bloque y más utilizados en la actualidad, el
de modelos independientes y el de haces de rayos.

3.1.
Método de ajuste en bloque por modelos independientes

En la
compensación en bloques por modelos independientes se somete cada
modelo a una transformación espacial de semejanza. Los siete
parámetros de transformación (3 giros alrededor de los ejes,
3 translaciones y un factor de escala) se determinan en una
compensación común, de manera que se enlacen perfectamente
los modelos aislados, orientándose al mismo tiempo todo el conjunto
con la mayor precisión posible respecto a los puntos de apoyo.

Además
de tener todos los puntos de enlace y apoyo en un sistema de coordenadas
propio para cada uno de los modelos, es necesario el disponer de las
coordenadas de los centros de proyección, pues representan una
considerable mejora en la geometría de la
transformación. Estos centros de proyección
serán deducidos en el cálculo de la orientación
relativa de cada uno de los modelos. Al no ser directamente medidos, su
tratamiento en las ecuaciones de error será diferente al de los
puntos de apoyo y enlace.

Es de
reseñar, que es el método más universalmente utilizado
en aplicaciones cartográficas.

3.2.
El método de ajuste de haces

Es el
método matemático más riguroso en la
triangulación aérea por bloques y está basado en el
principio del haz. En donde, un punto objeto, su imagen y el centro de
proyección forman un mismo rayo.

De dicho
principio se determina la correspondiente ecuación que sitúa
a cada uno de los infinitos haces de rayos que forman una imagen en su
correcta posición espacial.

Los
parámetros de la orientación exterior y las incógnitas
de las coordenadas terreno de los puntos medidos en las imágenes son
determinados por ajuste simultáneo. Las funciones de correspondencia
dependen de las condiciones perspectivas entre la medida en la imagen y las
incógnitas de las coordenadas del terreno.

Las
teóricas expectativas de precisión de la aerotriangulación
de bloque, han sido esencialmente confirmadas en la práctica. Dada
la absoluta rigurosidad del método, se ha visto la necesidad de
utilización de diferentes parámetros que puedan detectar y
eliminar errores sistemáticos en la imagen. Este
método es conocido como técnica de la libre autocalibración.

Los
resultados prácticos del método, fueron mostrados a nivel
internacional a partir de la realización del test
de Appenweier, consistente en un vuelo realizado
en el año 1973 a
iniciativa del Instituto Geográfico del estado de Baden-Wurtemberg (R.F.A.).

El objeto
de este test fue mostrar la validez de la
fotogrametría para la densificación de redes
geodésicas de segundo y tercer orden. Los resultados han sido
sobradamente divulgados a lo largo de la última década y
constituyen la base para su aplicación en trabajos donde se exigen
máximas precisiones.

4.
Test Endesa mina-Puentes

A pesar de
que la aplicación fotogramétrica a
la micro medida era un tema sobradamente demostrado, se nos planteó
el problema de tener que hacer un estudio previo a la implantación
del sistema en donde pudieran ser analizadas paso a paso todas las
dificultades en s u verdadera magnitud, llegando a poder mostrar el exacto
margen de fiabilidad de los resultados.

Para ello
nació la idea de la realización de un test.
Eligiéndose una zona de la explotación de lignito a cielo
abierto que Endesa posee en Puentes de García Rodríguez (La
Coruña).

Dicha zona
era, supuestamente, la más adversa para fotogramétricamente,
conseguir las precisiones requeridas. Consistía en un talud de,
aproximadamente, 2.5 Km de largo por 1 Km. de ancho y unos 150 mts. de desnivel.

El objeto
de la prueba consistía en la señalización en campo de
un mallado de puntos, midiéndose en un principio sus coordenadas por
métodos topográficos de gran precisión. Posteriormente
se volaría esa zona y se obtendrían por métodos de aerotriangulación las coordenadas de los mismos
puntos, comparándose ambos resultados y efectuando el
correspondiente estudio de errores.

Las
conclusiones obtenidas de este test representan
una formidable herramienta a la hora de analizar los auténticos
márgenes de precisión, exactitud y fiabilidad en que nos
moveremos cuando apliquemos técnicas de aerotriangulación.

4.1.
Señalización de puntos

Como
acabamos de decir, se escogió un mallado regular de puntos que
formaban un total de 5 filas por 9 columnas.

Estos
puntos iban hormigonados en forma de diana. Cada
cruce de la malla fue densificado con grupos de tres puntos, con el objeto
de ver la influencia que podía tener en el ajuste la
utilización de puntos simples, dobles o triples. Por lo tanto, el
total de puntos marcados ascendía a 135.

El
diámetro de la marca central de la diana se eligió de manera
que coincidiera (dependiendo de la escala imagen) con el índice de
medición estándar utilizado en el monocomparador.

4.2.
Toma topográfica

En primer
lugar, fueron elegidos un total de siete puntos que abarcaban el
perímetro exterior de todo el bloque. Estos puntos fueron elegidos
como red primaria para el apoyo de todas las posteriores medidas
topográficas.

Todas las
medidas de esta red fueron tomadas con la ayuda de un teodolito de
precisión Kern DKM-3, con
apreciación de la décima de segundo centesimal. Igualmente,
se midieron todas las distancias con sus correcciones de precisión y
temperatura, con la ayuda de un distanciometro
electrónico Wild DI-20.

Esta red
fue compensada independientemente, efectuándose un ajuste
simultáneo de direcciones y distancias. Las elipses máximas
de error, obtenidas a partir de la matriz de varianza-covarianza,
arrojaron unos semiejes mayores de un valor de 1.5 cm. en el punto
más desfavorable.

El resto
de los puntos fueron obtenidos por medición de todas las direcciones
y distancias a los puntos de la red primaria y compensada en un ajuste
simultáneo de direcciones y distancias, dejando como fijos los 7
vértices mencionados.

El estudio
de errores de esta compensación arrojó unos valores del
semieje mayor de la elipse de unos 2.5 cm. para el caso más
desfavorable. Altimétricamente, fueron
obtenidas toda la z de los 135 puntos mediante nivelación
geométrica, garantizándose que el error de cota en el peor de
los casos no superaba el valor del cm.

Todas las
compensaciones efectuadas encaminadas a obtener la configuración de
red más idónea, dieron como estimación de la
fiabilidad de posición de un punto aislado cualquiera, en valores
absolutos planimétricos, en tomo a los 2 cms. Lo que indica que el bajar de este margen en
terrenos de estas características y condiciones ambientales, entra
dentro de lo puramente teórico.

4.3.
Vuelo

El
proyecto de vuelo fue realizado a partir de las instrucciones dadas por el I.F.U. Stuttgart.
Consistió en tres pasadas con un solape longitudinal del 60% e,
igualmente, el 60% de solape transversal.

El vuelo
se realizó en los dos sentidos para cada una de las pasadas. De esta
forma, se garantizaba que, puntos de la zona media del bloque,
podían estar inc1uidos hasta en 18 fotogramas.

El vuelo
se efectuó el 13 de junio de 1986 y la escala media de la imagen fue
aproximadamente de 1/4200. La cámara fue una gran angular de 152.41 mm. de focal y de reciente calibración.

4.4.
Medición

Primero se
realizo una medición por modelos en uno de los restituidores
analíticos, Zeiss (Planicomp
C-100) propiedad de ENDESA.

En esta
medición se creó un sistema de coordenadas independiente para
cada uno de los modelos, registrándose un total de 51 modelos con
823 observaciones.

Igualmente,
fueron medidos los puntos independientemente en cada uno de los fotogramas,
como si de un monocomparador se tratara.

El objeto
de esta última medición tenía como fin, la posterior
comparación entre los resultados obtenidos a partir de un
instrumento analítico y un monocomparador.

Posteriormente
y en un monocomparador Zeiss
(PK-1) de la Universidad de Stuttgart, fueron
medidos todos los fotogramas, contabilizándose un total de 57
imágenes con 1350 observaciones.

Todas
estas medidas fueron ejecutadas de forma doble e interviniendo dos
técnicos de ENDESA con el fin de poder evaluar, en los resultados
finales, la forma en que puede afectar el error personal del operador.

4.5.
Compensación del Bloque

Todas las
combinaciones posibles en el ajuste, tenían el objeto de evaluar los
siguientes factores:

-
Diferencias en el ajuste por modelos independientes, a partir de la
medición en coordenadas imagen (comparador), o en coordenadas modelo
(restituidor).

- Diferencias entre el ajuste por modelos independientes y el de haces de
rayos a partir de la misma medición.

- Errores sistemáticos de la imagen en el ajuste de haces.

- Influencia de los parámetros adicionales en la libre

autocalibración en el ajuste de haces.

- Diferencias de los resultados en cuanto a la medición de dos
operadores diferentes.

- Optimización del apoyo. Es decir, el poder llegar a evaluar a
partir de los 135 puntos enlace-apoyo, el mínimo número de
puntos de control sin que el ajuste del bloque se vea afectado. Con lo que
en su aplicación práctica, podremos saber cuales son los
trabajos de campo necesarios y su distribución más correcta.

Todos los
cálculos fueron realizados con los programas, PRE, PRO, PARM, PATMR
Y PATB, desarrollados por el Instituto de Fotogrametría de la
Universidad de Stuttgart.

4.6.
Resultados

Los
bloques 1 y 2 significan que cada uno de ellos ha sido medido por un
operador diferente.

A
continuación mostramos los resultados obtenidos tanto en el ajuste
del bloque fotogramétrico, representado
por el valor del sigma naught, como de la
precisión absoluta calculada a partir de la diferencia de las
coordenadas topo gráficas con las del ajuste en los puntos de
chequeo (puntos no utilizados como apoyo en el cálculo de la A.T.).

Mostramos
igualmente los resultados obtenidos utilizando los dos métodos
más en uso, modelos independientes y haces de rayos.

4.6.1.
Ajuste por modelos independientes

El total
fueron 51 modelos distribuidos en 6 pasadas (3 pasadas con 60% de solape
transversal y voladas cada una en los dos sentidos).

823
observaciones fotogramétricas para 130
puntos del terreno distribuidos en 45 grupos de puntos triples.

Escala imagen 1 :4200

Sigma naught y precisión absoluta:

La
distribución pobre corresponde al apoyo de las cuatro esquinas
más los dos extremos del medio, es decir, se utilizan 6 puntos de
control planialtimétrico. Como cadenas
altimétricas corresponden a las dos del extremo más una en el
centro del bloque.

La
distribución densa corresponde a un apoyo del borde cada 2 modelos y
cadenas altimétricas cada 3.

4.6.2.
Ajuste por haces de rayos

En total fueron
57 fotogramas distribuidos en 6 pasadas (3 pasadas con 60% de solape
transversal y voladas cada una en los dos sentidos).

1357
observaciones fotogramétricas para 130
puntos del terreno distribuidos en 45 grupos de puntos triples.

Máximo
error estimado de los puntos de apoyo y chequeo en planimetría yaltimetóa: 2.5 cms.

Sigma naught y precisión absoluta del ajuste:

5.
Ajustes simultáneo en casos de máxima precisión

Como vemos
en los resultados mostrados en el test de ENDESA,
la gran precisión que el método de los haces puede garantizar
al poder conseguir una desviación estándar en el ajuste de la
medida cercana a los 3 mm en la escala imagen. La
precisión se ve en muchos casos truncada al ser los residuos de la
determinación tridimensional de las redes topográficas
superiores al ajuste fotogramétrico.

En la
década de los 80, gran parte de los institutos de
fotogrametría de universidades de todo el mundo han tratado a fondo
este problema. La solución adoptada mayoritariamente, ha sido el
poder conseguir que en un mismo ajuste puedan entrar simultáneamente
las medidas topográficas (distancias, direcciones, desniveles) junto
a las fotogramétricas (coordenadas
imagen).

De este
modo toda medida de campo va tratada con su verdadero error (fácil
de ser evaluado), del mismo modo que ocurre en la medición del
comparador. Cada una de estas observaciones, generan un tipo de
ecuación, obteniéndose en el ajuste simultáneo las
coordenadas x, y, z de los puntos medidos.

Esta
modalidad de ajuste simultáneo ha tenido un mayoritario uso en
aplicaciones industriales y de fotogramétrica
de objeto cercano.

6.
Aerotriangulación con datos auxiliares G.P.S.

El uso del
GPS en aerotriangulación consiste en que
la posición de la cámara en el momento de la
exposición fotográfica es determinada mediante los
métodos cinemáticos utilizados en
la determinación de las coordenadas de un punto con el uso de dos
receptores GPS. Estos datos se introducen como observaciones adicionales en
el ajuste del bloque fotogramétrico.

Como
resultado, el bloque fotogramétrico
presenta una sobredeterminación en el apoyo, pues conocemos el
posicionamiento absoluto de todos los centros de proyección.

El
disponer de puntos de apoyo en el terreno, solo será necesario para
la determinación del datun
geodésico y para un mejor ajuste en escala del bloque.

6.1.
Requerimientos técnicos

Técnicamente,
los receptores GPS y las cámaras métricas tienen
específicos requerimientos para conseguir el posicionamiento del
centro de proyección en el momento exacto de la exposición. Las
observaciones de un receptor GPS son obtenidas en un intervalo constante de
tiempo que no coincide con el intervalo de disparo de la cámara.

Para
obtener el correcto posicionamiento de la cámara a partir de la
interpolación de los datos GPS, deberemos de tener un registro
simultáneo de ambas observaciones. Para este propósito las
cámaras modernas (ZEISS LMK-2000, ZEISS RMK-TOP, WILD RC-20) generan
unos impulsos eléctricos en el momento de la toma. Las
cámaras antiguas pueden también ser adaptadas equipandolas con sus correspondientes accesorios.
Receptores GPS de varios fabricantes (SERCEL, ASHTECH, TRIMBLE) pueden
igualmente transmitir estos impulsos.

Luego,
disponiendo del valor de excentricidad de la antena con respecto al centro
del objetivo, más las posiciones de la antena en el momento de
tiempo conocidos, más el momento exacto del disparo
fotográfico, interpolaremos con gran precisión el
posicionamiento absoluto de la cámara. Además de los equipos
que son necesarios tener instalados en el avión, será
imprescindible el disponer de un receptor GPS en el terreno, a partir del
cual determinaremos por posicionamiento cinemático
las coordenadas del receptor en el avión.

6.2.
Configuración del bloque con datos GPS

Después
de varias simulaciones y experiencia práctica en los últimos
dos años, la configuración más apropiada de un bloque
regular, no importando el tamaño, sería la siguiente:

En la
cual, los mínimos requerimientos son cuatro puntos de apoyo planialtimétricos y una pasada transversal en
cada uno de los extremos del bloque. También son recomendados cuatro
puntos de apoyo altimétricos como los mostrados en el gráfico
anterior.

Para muy
grandes bloques será conveniente volar pasadas transversales
adicionales en el interior. Alternativamente las pasadas transversales
pueden ser sustituidas por cadenas de puntos altimétricos.

Las
características en cuanto a preparación, transferencia y
medición, son similares a las de cualquier bloque convencional,
influyendo la configuración y calidad de los puntos de enlace de la
misma manera. Al minimizar el número de puntos a dar en el campo, se
recomienda extremadamente el doblar estos puntos (dos puntos en vez de uno
en un entorno de unos 100 mts) para una mejor
fiabilidad y detección de errores groseros.

6.3.
Experiencia práctica con datos GPS

Debido a
que por el momento no existe una generalización en cuanto al uso de
esta nueva metodología nos vamos a basar en datos facilitados en la
realización de diferentes test por el
instituto de fotogrametría de la universidad de Stuttgart
(Alemania).

Entre
octubre de 1991 Y agosto de 1993 se realizaron en Europa, Asia,
Norte-América, África y Nueva Zelanda un total de 23
proyectos tipo test que posteriormente fueron
aplicados comercialmente. 15 de estos proyectos eran de aplicaciones de
media escala (1:15000 a 1:50000) y 8 de escalas grandes (1:4000 a 1:9000).
El tamaño de los bloques oscilaba entre 20 y 3000 imágenes.
En todos los casos se utilizaron receptores de una sola frecuencia. Las
compañías INPHO y TOPSCAN fueron las responsables de todo el
proceso de datos.

El
posicionamiento de la cámara se realizó con el programa SKIP,
y el ajuste combinado del bloque con el programa de compensación por
haces de rayos P ATB-GPS, siendo éste una nueva versión del
programa PATB-RS pero incluyendo la integración de posicionamientos
GPS dentro del ajuste como observaciones adicionales.

La
precisión, en cuanto al posicionamiento a lo largo de una pasada
después de las correcciones lineales, es representada por los
residuos de las coordenadas de la antena después del ajuste
combinado del bloque. Los valores del error medio cuadrático (r.m.s.) de las residuales están en un rango de 2 a 12 cms.
Estos resultados muestran que los giros del avión son
suficientemente considerados por las correcciones lineales.

Durante
uno de los proyectos el receptor de referencia fue instalado a unos 150 km. de la zona de
vuelo. El bloque contenía pasadas de hasta 16 minutos de tiempo de
vuelo. Después de las correcciones lineales, los valores del error
medio cuadrático de las residual es, fueron de 3.9 cms. en X, 3.4 cms. en Y y 8.1 cms. en Z.

Durante
otro proyecto fueron usados dos receptores fijos.

Uno se instaló en la zona de vuelo y el otro a 450 kms. de distancia. Se
realizaron dos ajustes del mismo bloque. El primero con las coordenadas de
la antena, calculadas con respecto al receptor más cercano, y el
segundo con respecto al situado a 450 kms. Los
resultados en uno y otro caso fueron prácticamente idénticos,
estando el error medio cuadrático de los residuos en tomo a los 6 cms.

Esto
muestra que, inclusive en distancias de unos 450 kns.
la influencia de los giros pueden ser linealmente
corregida, siempre que el tiempo de vuelo de cada una de las pasadas se
encuentre sobre los 2 minutos. En pasadas de 16 minutos y distancia del
receptor en tomo a los 150 kms. las precisiones de posicionamiento se sitúan en
tomo a los 10 cms.

Los
resultados del ajuste de los bloques confirmaron las expectativas
teóricas derivadas de las simulaciones. En los 23 proyectos
mencionados, la precisión teórica de las coordenadas terreno
variaba en el rango de 0.700 x escala imagen a 1.8 So x escala imagen para
planimetría, y en el rango de 1.4 So x escala imagen a 3.5 00 x
escala imagen para la altimetría.

En nueve
de los proyectos, se disponía de puntos de chequeo para la
determinación de la precisión absoluta. Esta resultó
ser:

1.5 00 x escala imagen Planimetría

2.2 00 x escala imagen Altimetría

Los cuadros comparativos de estos proyectos se muestran en el apartado n.2.

Según
estas experiencias prácticas, podemos decir que los resultados
obtenidos en el ajuste con datos auxiliares GPS, serían los
equivalentes al ajuste de un bloque convencional, con puntos planialtimétricos en el perímetro en un
intervalo de 2 modelos, y cadenas altimétricas en el interior a un
intervalo de 4 modelos.

Referencias

- Aerial Triangulation and block-Adjustment - F.
Ackermann.

- Utilization of navigation data for aerial triangulation F. Ackermann.

-
Apuntes de Fotogrametría Analítica - F. Ackermann.

- Numerische Photogrammetrie
- H. Ebner.

- Combined Adjustment of Photogrammetric and Non-Phothogrammetric
Information - H. Ebner.

- New results of Bundle block ajustment with
additional Parameter - H. Klein.

- Experimental Investigation on point transfer - M. Sigle.

- The reliability ofblock triangulation - W. Fórstner.

- Bingo: Ein Bündelprogramm
zur simultanaus gleichurig für Ingenieuranwedungen - E. Kruck.

- La
fotogrametría, aplicada al control de deformaciones

- A. del Prado.

- Fotogrametría
analítica - J. Juliá.

- Manual Fotogramétrico - Alberz, Kreiling .

- Use of GPS for Aerotriangulation with PAT and
SKIP

- INPHO.

- New results from photoflights with GPS - Amold, Herms, Schroth.

- Block adjustment with GPS - Blankenberg, Ovstedal.