:: Conversión
de datum con el modelo de 7 parámetros Bursa-Wolf ::

Hace unos meses publiqué en esta página un artículo
detallando el proceso de transformación
de coordenadas geodésicas en UTM y viceversa, pero en ese
artículo no se trataba el tema del traspaso de coordenadas que
estuvieran referidas a datums diferentes. Es decir, tratábamos el
desarrollo del proceso de conversión de coordenadas UTM referidas a un
elipsoide determinado (el que fuera), y cuyo destino eran sus coordenadas
geodésicas equivalentes sobre el mismo elipsoide de referencia, o bien
el proceso inverso. No se abordaba, sin embargo, la posibilidad de que las
coordenadas origen estuvieran dadas sobre un elipsoide y que las de destino
fueran referidas a otro diferente.

Este proceso, conocido como cambio de datum o traspaso de datum, está
enunciado en muchos libros de texto y páginas web, pero sólo se
suelen documentar los distintos métodos que existen para su
realización con sus correspondientes ecuaciones; yo no he llegado a
encontrar un texto con ejemplos en toda su extensión que detallen el
proceso de principio a fin. Quizá, debido a la extensión del
proceso, que es larga, la mayor parte de los textos encontrados se limitan
solamente a plantear el armazón de las ecuaciones, pero no entran en la
totalidad del proceso. De esta forma, se pasan por alto numerosos detalles que
son importantes para el entendimiento del proceso y su ejecución.

Sé que hay bastantes dudas sobre este tema, así que voy a
intentar escribir un texto que describa TODO el proceso de principio a fin,
siguiendo un ejemplo concreto y detallado, y adjuntado al final del
artículo una hoja de cálculo en formato Microsoft®
Excel con la implementación de los procedimientos descritos.
Como ya dije en el artículo de conversión de coordenadas, el
hecho de adjuntar una hoja de cálculo no pretende que ésta sirva
como conversor de coordenadas realmente, sino que sirva para comprender el funcionamiento
de las ecuaciones y que facilite a los programadores el desarrollo de los
conversores. Creo que esta manera de ejemplificar el uso de las ecuaciones es
más fácil de entender que poner código fuente
directamente.

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vas a hacer un uso comercial del contenido, puedes realizar una donación
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Si el contenido del texto que vas a ver te resulta útil y te ayuda a
aprender, te pido que cites esta página web en tu trabajo.

En cuanto a la estructuración del artículo, realizaremos en
primer lugar un ligero encuadre teórico de qué es del datum y lo
que significa el traspaso de datums; en segundo lugar, enunciaremos los
distintos métodos que existen para realizar traspasos entre datums y, en
tercer lugar, realizaremos la extensión y ejemplificación de uno
de estos métodos: el modelo de ecuaciones de 7 parámetros de
Bursa-Wolf, que es uno de los procedimientos más precisos para esta
tarea.

1.CONCEPTOS PREVIOS: DATUM Y
CAMBIO DE DATUM.

Es necesario realizar un encuadre teórico de lo que significa y lo
que implica el traspaso de datum. Para ello, es necesario en primer lugar tomar
conciencia de las superficies de referencia que existen en cartografía.

Superficies de Referencia en
Cartografía.

El proceso de formación de la cartografía implica una
abstracción de la realidad. Necesariamente, tenemos que simplificar
la complejidad de la realidad para poder introducirla y grafiarla sobre un
mapa. Indudablemente, este proceso de abstracción implica muchos niveles
del proceso cartográfico, pero uno de ellos, quizá uno de los
más profundos desde el punto de vista teórico, consiste en
simplificar la propia superficie de referencia sobre la que trabajamos.

Como es sabido, los mapas necesitan de un modelo matemático (sistema
de proyección) que permita el paso de una superficie tridimensional
parecida a la esfera (la tierra) a un medio plano como es el papel. Para poder
aplicar cualquiera de los modelos matemáticos que permiten tal paso (o
sistemas de proyección) es necesario reducir la complejidad de la
superficie de la tierra a una superficie de aproximación que sea
modelizable matemáticamente. Sería imposible trabajar
directamente con la superficie de la tierra, que está plagada de
accidentes geográficos como sierras, valles, acantilados, etc. en una
sucesión de complejidad infinita.

A partir de esta necesidad de encontrar una primera simplificación de
la superficie de referencia de la tierra, los geodestas han ido configurando a
lo largo de la historia el concepto de geoide. El geoide
podemos imaginarlo como la superficie que observaríamos si el mar
estuviera en calma total y en ausencia de mareas, prolongada imaginariamente
por debajo de los océanos. Se trata de una superficie equipotencial, es
decir, en la cual el potencial de la gravedad es constante en toda su
extensión y aunque no existe físicamente (los mares nunca
están en calma total, sin mareas y tampoco atraviesan los océanos
por debajo) sí es medible y definible a partir de mediciones
empíricas.

Esta medición del geoide no es fácil de hacer, e
históricamente ha sido uno de los principales problemas de la geodesia
física. Sin embargo, hagamos un experimento imaginario de cómo
podríamos precisar esa superficie. Imaginemos que tenemos un mar en
calma y sin mareas e imaginemos que estamos en una balsa flotando sobre ese
mar. Sostenemos una cuerda con un peso (una plomada); esa plomada
señalará la vertical del lugar (o vertical
astronómica) y con la imaginación podemos prolongarla
hasta tocar en un punto a la superficie del mar. Justo por ese punto de toque
pasaría la superficie del geoide, con la particularidad de que en ese
punto del geoide la superficie de éste es perpendicular a la
dirección de la vertical del lugar:

¿Y si realizáramos infinitas medidas como la anterior
alrededor de todo el planeta? cuantas más medidas realizáramos en
estas condiciones más podríamos precisar la superficie del
geoide. En cada punto del planeta, la vertical astronómica
señalaría en una dirección diferente:

Obviamente, este procedimiento imaginario no es viable desde el punto de
vista práctico... Sin embargo, se han desarrollado otros métodos
de medición que han evolucionado sobre todo con el advenimiento de la
geodesia por satélite. Por ejemplo, esta es una imagen del geoide donde
podemos ver las zonas azules como depresiones y las zonas rojas como
elevaciones:

Ampliar imagen

¿Montañas y valles en el mar? sí, algo parecido... En
la configuración del geoide intervienen muchos factores: la diferente
densidad de los materiales, la dinámica de fluidos que rige los
complejos movimientos de los materiales fundidos del magma y núcleo del
planeta, la fuerza centrífuga de la rotación terrestre... Todo
ello influye y hace que la gravedad se presente con un patrón irregular.
Por eso es tan difícil delimitar el paso del geoide, y por eso es tan importante
conocer el valor de la gravedad para la geodesia física. Ahí
está el uno de los puntos de conexión entre la física y la
cartografía.

Al observar la imagen de arriba, vemos que el geoide tampoco es una
superficie muy regular. Más bien tendría la forma de una especie
de patata y sospechamos que con esa configuración, no debe ser
fácil modelizar su forma matemáticamente.

Otra rama de la geodesia, la geodesia geométrica, se ha encargado de
conseguir una superficie de aproximación más adecuada para su
tratamiento matemático: el elipsoide. El elipsoide es
una figura tridimensional que intenta reproducir la geometría del
geoide, pero con la particularidad de que su superficie sí es
modelizable a partir de ecuaciones. Tiene su origen en una elipse a la que
imaginariamente hacemos rotar entorno a su eje más corto:

A partir del giro de la elipse sobre su eje menor, se genera el elipsoide de
revolución que ya es una figura tridimensional. El elipsoide tiene como
parámetros principales la longitud de sus dos semiejes. A partir de
ellos se sacan otros valores de su geometría muy utilizados en los
problemas geodésicos: el aplanamiento, la excentricidad, la segunda
excentricidad, etc. En realidad, comprender la geometría de la elipse y
del elipsoide abre las puertas a comprender la cartografía en toda su
belleza.

Sobre el elipsoide se miden las coordenadas geodésicas, expresadas en
grados, minutos y segundos sexagesimales. Para ello, es fundamental el concepto
de vertical geodésica, que es la vertical perpendicular al elipsoide. A
partir de ella se fija nada menos que la latitud geodésica (representada
normalmente con la letra f ó j (ambos símbolos son en realidad la
misma letra griega cuya lectura se pronuncia "fi").

Recapitulando, tenemos tres superficies a considerar: la superficie que
vemos de la tierra, el geoide y el elipsoide. Estas tres superficies no
coinciden, y de hecho están variando sus posiciones relativas
constantemente. A la distancia existente entre un punto del elipsoide y su
punto homónimo sobre el geoide se le llama ondulación del
geoide, desviación geoidal, o altura geoidal:

Y esta diferencia es muy importante para muchas operaciones
cartográficas y geodésicas. Por poner uno de los ejemplos
más recurridos, el origen de las altitudes que vemos en nuestros mapas
(curvas de nivel, puntos acotados, etc.) se establece normalmente en el geoide.
En concreto, se establece en un punto del geoide: por ejemplo, en España
el origen de las altitudes cartográficas es el nivel medio del mar en
Alicante (NMMA). A estas altitudes medidas a partir del geoide se las denomina altitudes
ortométricas.

Por otro lado, existen las altitudes medidas a partir del elipsoide y que se
vienen usando en los últimos años y cada vez más porque
son las que nos dan las mediciones GPS. Estas altitudes presentan desfases
notables con respecto a las ortométricas, puesto que como hemos dicho,
la relación de distancia geoide-elipsoide varía constantemente a
lo largo de toda la tierra, y eso sucede con cualquier elipsoide considerado.
La diferencia -ondulación del geoide- puede llegar a variaciones de
cientos de metros.

Al punto tomado como referencia para medir las altitudes
cartográficas o cotas Z se le denomina datum vertical.
Vemos que ya aparece el término datum, pero no es el datum
vertical el que ocupa el presente artículo. El datum que nos interesa en
este texto es el datum horizontal.

¿Qué es el
datum cartográfico o datum horizontal?

Bueno, ya hemos dicho que la superficie del elipsoide trata de ajustarse a
la superficie del geoide en la medida de lo posible. Y también hemos
dicho que existen cientos de versiones distintas del elipsoide (cientos de
elipsoides, cada uno con sus parámetros de semieje mayor, semieje menor
y resto de parámetros derivados). Pero... ¿cómo ubicar tridimensionalmente
el elipsoide que consideremos con respecto al geoide? ¿Cómo
situar uno con respecto al otro? pueden existir infinitas ubicaciones
alternativas...

Eso es precisamente lo que
hace el datum: fija el elipsoide a utilizar con sus parámetros
geométricos correspondientes (siempre hay un elipsoide asociado a un
datum), y establece el punto en el que la vertical geodésica coincide
con la vertical astronómica. Es decir, el punto de relación entre
geoide y elipsoide, que normalmente se corresponde con un punto de tangencia
entre ambas superficies. A ese punto de relación se le denomina punto
astronómico fundamental. En el caso de España, hasta
fechas recientes el datum que se utilizaba era el datum europeo de 1950 (ED50),
que toma como elipsoide de referencia el elipsoide de Hayford (o elipsoide
internacional de 1924 ó de 1909), y que establece el punto
astronómico fundamental en la ciudad alemana de Potsdam; en concreto, en
la Torre de Helmert que existe en el campus universitario de esa ciudad, y que
se puede ver en la foto de la
derecha. No es casualidad que sea un observatorio
astronómico el lugar en que se pone en relación el geoide con el
elipsoide. Lógicamente, es necesario conocer con mucha precisión
la vertical astronómica para orientar con precisión el elipsoide,
pues es el punto inicial de materialización del sistema geodésico
de referencia, pero hay una implicación aún más profunda:
si la vertical astronómica y la vertical geodésica coinciden,
significa que también las coordenadas geodésicas y las
coordenadas astronómicas coincidirán. De ahí que los
puntos fundamentales de los datums estén frecuentemente en observatorios
astronómicos y de ahí procede la estrecha relación entre
la astronomía y la geodesia, que se plasma en la rama de la geodesia
llamada geodesia astronómica.

La siguiente idea importante es que un mismo punto de la superficie de la
tierra, tiene diferentes coordenadas geodésicas en función del
datum elegido:

Así, las coordenadas tomadas con GPS (referidas al datum WGS84),
pueden diferir cientos de metros de su posición real si equivocamos el
datum con el que fueron tomadas. Puede que los valores de las coordenadas sean
de buena calidad, pero si el usuario equivoca el datum de referencia, el error
cometido puede ser de cientos de metros:

Por tanto, se deduce que conocer el datum de referencia de las coordenadas
es un parámetro fundamental para mantener la exactitud
cartográfica. Por otro lado, la capacidad de traducir datos
cartográficos de un datum a otro es una habilidad que todo
geógrafo ha de conocer.

2. TIPOS DE TRANSFORMACIONES
DE DATUM.

Existen diversos métodos para realizar el traspaso de unas
coordenadas en un datum a otro de destino. Unas operan con coordenadas
cartesianas X, Y, Z con referencia al centro geométrico del elipsoide de
referencia considerado (no hay que confundir estas coordenadas
geocéntricas X Y Z con coordenadas de sistemas de proyección como
el UTM); otras, operan directamente sobre las coordenadas geodésicas
expresadas en grados, minutos y segundos; por último, otras operan
directamente con coordenadas proyectadas, si es necesario.

Las que operan con las coordenadas geodésicas directamente son las
Ecuaciones de Molodensky (o Molodenski, porque se
ve escrito de las dos formas). De estas ecuaciones existe una versión
simplificada denominada comúnmente Abriged-Molodensky, aunque a veces
también se refiere como transformación de Molodensky a secas, lo
cual introduce una cierta confusión. La versión reducida, viene a
ser comparable a lo que veremos a continuación como una
transformación de 3 parámetros, es decir, válida para
precisiones bajas. La transformación de Molodensky completa es la que
ofrece mayores garantías de precisión.

En cuanto a las transformaciones que operan con coordenadas proyectadas
directamente (si es necesario), se encuentran las transformaciones
polinómicas que emplean expresiones de distinto grado de
polinomio para hacer el mejor ajuste entre dos sistemas de coordenadas que no
siguen una pauta regular de distorsión entre sí. La
versión más sencilla de estas transformaciones sería una
transformación afín, que en esencia es la aplicación de un
polinomio de orden 1. Lógicamente, una transformación de este
tipo poco puede hacer por nosotros ante un problema tan complicado como un
cambio de datum... Sin embargo, las transformaciones polinómicas
más complejas sí que pueden resolver un complejo cambio de datum.
De hecho, en España hace algunas décadas se tuvo que hacer una
tarea bastante complicada como fue migrar toda la cartografía del datum
de Madrid 1870 (referido al meridiano de Madrid, concretamente con punto
fundamental en el centro de la cúpula del Observatorio
Astronómico de esta ciudad y que empleaba el elipsode de Struve), al
datum europeo unificado de 1950 con punto fundamental en Potsdam y
adopción del elipsoide de Hayford. El paso de datum se resolvió
usando trasformaciones polinómicas desarrolladas por el Servicio
Geográfico del Ejército (SGE). Dichas transformaciones son
válidas para el territorio penisular español y están
parcialmente documentadas aquí. En aquella época, además,
coincidió esta problemática con el cambio de sistema
cartográfico de representación de la proyección
poliédrica que se usaba hasta entonces a la adopción de la proyección UTM.

Sólo vamos a entrar en profundidad en las transformaciones que
utilizan coordenadas cartesianas rectangulares. Veamos qué significa
esto.

Las transformaciones que operan con coordenadas cartesianas, requieren que
estas coordenadas estén referidas al centro geométrico o de masa
del elipsoide. Son lo que en términos geográficos se denominan
coordenadas ECEF (Earth Centered-Earth Fixed), que en castellano
podríamos traducir como coordenadas geocéntricas fijas (a veces
se llaman también coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares).
Podemos imaginar el marco de referencia de estas coordenadas, como un sistema
tridimensional de ejes con centro en el elipsoide de revolución:

Así, cuando queremos hacer el traspaso entre coordenadas referidas a
dos datums diferentes, lo primero que tenemos que hacer es pasarlas a
geodésicas; en segundo lugar, pasarlas a geocéntricas; en tercer
lugar, hacer el cambio de datum mediante la compensación de las
diferencias entre los dos sistemas de ejes cartesianos tridimensionales
geocéntricos:

Luego veremos en detalle cómo se ejecuta todo este proceso, pero
conceptualmente podemos ver que supone tener que considerar los desplazamientos
de los centros, que se descomponen en un incremento de distancia en X, un
incremento en Y y otro en Z. También supone tener que compensar los
ángulos que forman cada eje con su homónimo en el otro sistema.
Si los sistemas de ejes fueran paralelos, estos ángulos serían
inexistentes, pero si no lo son, es necesario conocer el ángulo de
desviación que presentan entre sí. Y por último, la
diferencia de tamaño entre las unidades de un sistema y otro, que se
denomina factor de escala. Gráficamente, visualizamos estas diferencias
de la siguiente manera:

En el gráfico está sin simbolizar la diferencia en escala
entre ambos sistemas. Imaginemos que el sistema de ejes coloreados en rojo toma
como unidad el metro; y sin embargo, el otro sistema tiene una unidad
equivalente a 0.997
metros; el factor de escala para pasar del sistema verde
al rojo sería 1.003; en otras palabras, habría que multiplicar
las coordenadas verdes por 1.003

En consecuencia, con la aproximación aquí expuesta son 7 los
parámetros que tenemos que considerar para hacer el paso entre los dos
sistemas de coordenadas: incrementos de distancia en X, en Y y en Z, rotaciones
en los ejes X, Y, Z, y por último el factor de escala.

La mayor parte de la diferencia entre ambos sistemas se compensa teniendo en
cuenta la diferencia de los centros (los desplazamientos en el eje X, en el eje
Y y en el eje Z). De hecho, una transformación sencilla de datums
consiste en pasar las coordenadas geodésicas a geocéntricas y una
vez en geocéntricas compensar las diferencias de distancia al origen.
Este tipo de transformación, suele denominarse de 3 parámetros y
es sólo recomendable para aplicaciones de poca precisión.

Por ejemplo, el conversor de coordenadas en línea que aparece a la
izquierda de esta página utiliza una transformación de 3
parámetros para hacer las transformaciones de datum. En ese conversor de
coordenadas, la conversión en el mismo datum es totalmente precisa, pero
como digo si trasladamos datums el resultado ya no lo es tanto. ¿Por
qué entonces se usa una transformación de 3 parámetros si
no es precisa? Porque utiliza unos parámetros que son constantes y
fácilmente obtenibles; de hecho, existen tablas que proporcionan las
diferencias de origen entre datums: en este ejemplo tenemos las diferencias de
varios datums con respecto al WGS84.

Para aplicar una transformación de 7 parámetros, sin embargo,
no valen unos parámetros genéricos de rotaciones de ejes y factor
de escala, sino que es necesario tener unos concretos de la zona sobre la que
estamos trabajando. Estos parámetros lógicamente tienen que hacer
referencia a la relación geométrica entre los dos datums que vamos
a traducir y de su calidad dependen directamente los resultados.

3. TRANSFORMACIONES DE DATUM
CON 7 PARÁMETROS.

Dentro de las transformaciones de 7 parámetros usadas en geodesia,
existen dos alternativas de formulación y una cierta confusión de
nombres. Las dos formulaciones, casi idénticas, son las ecuaciones de
Bursa-Wolf y la transformación de Helmert. Son prácticamente
iguales y sólo presentan diferencias en la forma de plantear la matriz
de rotaciones y sus signos:

En cuanto a los nombres, existen denominaciones alternativas que crean una
cierta confusión. Así, hay fuentes que atribuyen la expresión Coordinate
Frame a la transformación de Bursa-Wolf y el
nombre alternativo Position Vector a la de Helmert (ese
criterio asumo yo en este artículo). Sin embargo, otras fuentes a veces
refieren estos nombres cruzados e incluso se cruzan también las
denominaciones originales con respecto a las fomulaciones de las ecuaciones.
Incluso consultando las bases de datos de transformaciones del EPSG (European Petroleum Survey
Group, ahora llamado OGP), existe confusión y disparidad de criterios.
Pero esto no es del todo importante. Lo importante es saber que dentro de la formulación
Bursa-Wolf existe otra variante, y que la forma de contar los
ángulos (en el sentido de las aguas del reloj o contrario a las agujas
del reloj) es importante para el funcionamiento de las ecuaciones.
También, hay que considerar que los paquetes de parámetros tienen
un sentido de transformación: consideran un datum origen y un datum
destino, y por lo tanto si queremos revertir la conversión hay que
variar el signo de los parámetros.

Todas estas consideraciones obligan a una cierta cautela cuando recibimos un
conjunto de parámetros para realizar una transformación de datum.
A priori es imposible saber a qué tipo de transformación
pertenece un conjunto de parámetros sólo con verlos, y
también hay que tener cuidado con el sentido de la transformación. Los
metadatos, aunque existan, no garantizan esta parte del trabajo, pues como he
dicho anteriormente existen diferencias a nivel conceptual y lo que alguien
llama a, puede ser b. Se hace necesario, pues, comprobar con
las dos variantes de formulación anteriormente expuestas, y hacer
pruebas variando los signos. Sobre puntos de control con coordenadas conocidas
en los dos sistemas, podemos ver si el funcionamiento es correcto o no, y
cuál es el error que nos está dando la transformación.

Por último, y antes de cerrar este punto sobre las transformaciones
de 7 parámetros hay que advertir también de sus inconvenientes,
al menos a nivel teórico. Las transformaciones de siete
parámetros que hemos visto realizan una rotación tomando como
punto de rotación el centro del elipsoide. Esto ocasiona que cuando se
calculan los parámetros de desplazamiento y giro a partir de una serie
de puntos de control con coordenadas en ambos sistemas, exista una alta
correlación entre las traslaciones y rotaciones. Para eliminar esta
dependencia entre los parámetros, se utiliza una tercera
variación de las ecuaciones de 7 parámetros llamada modelo Molodensky-Badekas,
que con la adopción de 3 parámetros adicionales pasa a usar un
total de 10 en el proceso.

Estos tres nuevos parámetros de la variación
Molodensky-Badekas definen el punto de rotación (Xp,
Yp, Zp), que puede ser una posición geométricamente
representativa de la zona en la que se están traduciendo coordenadas
(centroide del polígono de actuación). Este punto se puede sacar
por un procedimiento muy simple: sacando la media de las X de todos los puntos
de control, la media de las Y y la media de las Z, naturalmente con las
coordenadas en el datum origen.

La
variante Molodensky-Badekas queda como sigue:

Como es lógico, para usar esta transformación tenemos que
tener parámetros deducidos al efecto y no vale aplicar parámetros
pensados para un modelo de 7 parámetros. La incorporación de un
punto de rotación particularizado requiere de parámetros
también con este condicionante extraidos con el modelo arriba
representado.

4. LAS ECUACIONES DE
BURSA-WOLF EN FUNCIONAMIENTO: UN EJEMPLO DE TRANSFORMACIÓN.

Una vez presentado todo el encuadre teórico anterior, estamos en
condiciones de iniciar un ejemplo de conversión de datum y ver todos los
detalles en los que aún no hemos entrado.

Utilizaremos la
transformación de Bursa-Wolf, propuesta por Bursa en 1962 ("The
theory of the Determination of the Non-parallelism of the Minor axis of the
Earth and Initial Astronomical and Geodetic meridians from observation of
Artificial Satellitea", en Studia Geophysica et Geodetica,
vol. 6, nº2) y completada por Wolf en 1963 ("Geometric connection
and re-orientation of three-dimensional triangulation nets" en Bulletin
Géodésique vol. 68, pp. 65-169). Esta
transformación es la más empleada hoy día por los paquetes
GIS y aunque arriba hemos hecho matizaciones sobre su uso, ofrece un nivel de
calidad más que suficiente para la mayor parte de las aplicaciones.

El ejemplo lo haremos traduciendo las coordenadas de un vértice
geodésico del centro de España: el vértice de Carbonera.
Las coordenadas de este vértice las conocemos en dos datum distintos, a
partir de cálculos realizados por el Instituto Geográfico
Nacional. Se trata de uno de los vértices de la red REGENTE, con
coordenadas disponibles en ED50 y coordenadas en ETRS89 (~WGS84):

Vértice de
Carbonera

X UTM

Y UTM

Altitud

l

j

Datum ED50

448611.14

4377788.61

718.50 (ortométrica, sobre NMMA)

-3º 35'
53''0503

39º 32'
51''2352

Datum ETRS89

448500.79

4377580.93

771.46 (elipsoidal, sobre GRS80)

-3º 35'
57''7335

39º 32'
46''8905

Como se ve, tenemos coordenadas en UTM y en geodésicas, y en los dos
datum con los que vamos a trabajar. Hay que decir en este sentido que ETRS89,
el nuevo datum unificado que se usa hoy día en Europa, es en la
práctica equivalente a WGS84, por lo que el presente ejercicio es
asimilable a decir que vamos a traducir coordenadas de datum WGS84 a ED50.

Se trata en todos los casos de coordenadas seguras, en el sentido de que han
sido calculadas con una precisión centimétrica o de unos pocos
centímetros. Además, he escogido hacer el ejercicio con un
vértice geodésico situado en el centro de la Península
Ibérica, donde se supone que la red geodésica
tiene una mayor robusted, y donde además los parámetros de
transformación (también facilitados por el IGN) pueden funcionar
mejor.

Dichos parámetros calculados por el IGN se distribuyen en tres
conjuntos, cada uno aplicable a una zona de la Península
Ibérica:

Los desplazamientos se dan en metros, las rotaciones en segundos
sexagesimales (que luego tendremos que transformar a radianes), y el factor de
escala en partes por millón (que luego tendremos que dividir por 1
millón, o lo que es lo mismo, multiplicar por 10-6). Estos
parámetros sirven para aplicaciones de precisión media, donde el
error puede estar entorno al metro o metro y medio. Los parámetros
pueden ser de mayor precisión cuanto más reducido es el
ámbito.

¿Cómo
y dónde conseguir los parámetros de transformación?

Normalmente los usuarios han de solicitarlos para cada zona concreta del globo
a su institución nacional o regional encargada de la cartografía
y geodesia; para el caso de España, existe una aplicación
específica para servir parámetros en la web del Centro Nacional de Información
Geográfica. Esa es la forma más fácil de obtener
parámetros seguros, pero también podemos deducirlos a partir de
los modelos de ecuaciones anteriormente presentados. Tendríamos que
conocer múltiples puntos con coordenadas en los dos sistemas y
pasaríamos a despejar las incógnitas que serían los
términos de rotación, traslación y factor de escala;
quizá en un próximo artículo abordemos
prácticamente este tema.

En este artículo asumiremos los parámetros denominados
"Península" de la tabla arriba expuesta, que como hemos dicho
sirven para aplicaciones de media precisión.

El ejercicio que vamos a hacer procede de coordenadas UTM en ETRS89 (~WGS84)
y tiene destino en coordenadas UTM pero en un datum de destino diferente
(ED50). Para hacer este proceso, necesitamos realizar las siguiente secuencia
general:

Paso de UTM en datum origen
a Geodésicas en el mismo datum origen.

En un artículo de esta web se explicaba cómo realizar el paso
de UTM a Geodésicas en el mismo datum, por lo que no describiremos
el proceso. Si el lector precisa conocer dicho procedimiento, puede acceder al
artículo aquí.

Tan sólo baste decir que las coordenadas geodésicas
correspondientes al vértice de Carbonera son, según el
método descrito en el artículo antes referido, las siguientes:

Vértice de
Carbonera

X UTM

Y UTM

l

j

Datum ETRS89

448500.79

4377580.93

-3º 35'
57''7336

39º 32'
46''8909

Existe
una mínima diferencia en las geodésicas calculadas por este
procedimiento y las geodésicas anunciadas por el IGN para el mismo
punto. Esta diferencia, que como digo es mínima y totalmente compatible
con la aplicación, se debe al diferente procedimiento de cálculo.

El valor de las altitudes en
el proceso y su cálculo.

Antes de seguir adelante con el proceso, es necesario realizar algunas
consideraciones sobre las altitudes. Para operar con transformaciones de datum,
necesitamos conocer las altitudes del punto pero sobre el elipsoide.
Antes hemos dicho que el elipsoide presenta una diferencia con respecto al
geoide que varía en cada punto. También hemos dicho, que las
altitudes que nos muestran los mapas suelen ser altitudes medidas con origen en
la superficie del geoide (altitudes ortométricas), mientras que los GPS
nos suelen dar las altitudes sobre el elipsoide (altitudes elipsoidales).

En la transformación nos hacen falta altitudes elipsoidales, que
podemos calcular si conocemos la ondulación del geoide en ese punto:

Dado que:

donde h es la altitud elipsoidal, H es la altitud ortométrica y N es
la ondulación del geoide.

Podemos obtener una aproximación a las alturas elipsoidales
utilizando un modelo de geoide en línea. Para ello, recomiendo el modelo de geoide EGM96 de la National
Geospatial-Intelligence Agency. En este modelo, a partir de
las coordenadas geodésicas en WGS84 (~ETRS89), podemos obtener la altura
del geoide con respecto al elipsoide WGS84 (~GRS80) en ese punto:

Ver detalle del uso del modelo
EGM96

Con este modelo, obtenemos la altura geoidal que es de 53.26 m, luego la altura
elipsoidal será:

El número 718.50 sale de la altitud ortométrica dada por el
IGN o consultable en los mapas, y que en el caso de España está
medida sobre el nivel medio del mar en Alicante (NMMA). El valor h de
altitud elipsoidal calculado por este procedimiento no difiere mucho con el
calculado por el IGN de forma segura (771.46), y puede ser aceptado como
válido para el tipo de aplicación de precisión media que
suponemos en este artículo. También podríamos sacar la
altlitud elipsoidal de lecturas directas realizadas con GPS de alta
precisión sobre el punto.

Por lo tanto, ya tenemos también altitud elipsoidal Z para el punto.
Pero... ¿cuál es el valor realmente de las altitudes en el
proceso de transformación de datum? ¿Se pueden convertir
coordenadas de un datum a otro sin conocer las altitudes elipsoidales?

Bien, yo creo que el valor de las altitudes elipsoidales en el proceso de
conversión y si estas son estrictamente necesarias o no depende de la aplicación. En
casos como el que nos ocupa en el presente artículo en el que manejamos
parámetros válidos para una superficie muy grande de territorio
(casi la totalidad de España), y buscamos una transformación con
una precisión del orden de un metro o metro y medio, las altitudes
elipsoidales no son totalmente necesarias. Digamos que el aporte del eje Z, que
tiene un rango de mil y algo metros, es mínimo comparado con los aportes
de los ejes X e Y, que tienen rangos mucho mayores.

He plasmado en la siguiente tabla los resultados comparados de las
transformaciones para varios puntos de la Península
Ibérica. Se comparan los errores de los cambios de
datum utilizando altitud elipsoidal y sin usar altitud (osea, suponiendo h =
0). Los errores se sacan de comparar las coordenadas calculadas en ED50 con las
coordenadas seguras ED50 del IGN:

Como se puede ver, los resultados casi no varían si usamos altitudes
o suponemos estas igual a 0. Las disminuciones o incrementos de los errores
(con respecto a las coordenadas ED50 facilitadas por el IGN) son
mínimas.

Insisto
en que esta afirmación es sólo válida para el caso que nos
ocupa. No estoy afirmando que las altitudes elipsoidales no sean necesarias
para la aplicación del modelo Bursa-Wolf. En otras situaciones
diferentes al escenario planteado en este artículo las altitudes
elipsoidales sí son estrictamente necesarias, especialmente cuando
operamos con parámetros para áreas de territorio más
reducidas.

El recurso de suponer las altitudes elipsoidales iguales a 0 está
siempre ahí, pero depende del usuario evaluar la incidencia de este
factor en el proceso. A veces puede ser perfectamente válido operar con
una altitud = 0 y otras veces no. En este artículo sí
utilizaremos la altitud elipsoidal de 771.76 que hemos calculado antes para
aplicar el resto del proceso.

Paso de geodésicas a
geocéntricas en datum origen.

Anteriormente ya hemos explicado lo que supone pasar las coordenadas
geodésicas a geocéntricas. Veamos a continuación
cómo se hace el proceso de obtener la X, Y, Z cartesianas
geocéntricas (ECEF):

Donde:

Para
una mayor claridad expositiva, pasaré a escribir en negro las ecuaciones
originales y en color azul las aplicaciones realizadas de estas ecuaciones con
los datos concretos del ejemplo.

Conocemos también los datos correspondientes al elipsoide en el que
están las coordenadas de origen. Como hemos dicho antes, el datum ETRS89
utiliza el elipsoide GRS80, que es prácticamente igual al elipsoide de
referencia del sistema WGS84. Por lo tanto, tomaremos los parámetros de
WGS84 como si fueran los mismos que GRS80:

Comenzamos con el cálculo de N:

Aplicando al ejemplo que nos ocupa:

Es importante destacar que tanto la latitud como la longitud han sido
pasadas a grados sexagesimales en notación decimal.
Sobra decirlo, pero este paso se hace de la forma: grados decimales =
grados + minutos/60 + segundos/60/60. Como se puede ver, los datos
angulares así obtenidos y correspondientes a la latitud y longitud son
también modificados para introducirlos en radianes. Por
eso los multiplicamos por el número p
(pi) y dividimos por 180. Durante el resto del proceso también
deberemos pasar todas las medidas angulares a grados decimales y luego a
radianes.

Ahora, ya podemos obtener las coordenadas geocéntricas cartesianas,
según las formulaciones expuestas arriba:

Cambio de datum con la
aplicación del modelo Bursa-Wolf.

Ahora que ya disponemos de las coordenadas geocéntricas cartesianas
ECEF podemos aplicar el modelo de Bursa-Wolf. La aplicación de este
modelo no funcionaría directamente sobre coordenadas proyectadas UTM
X,Y,Z, por lo que es imprescindible pasar por las geocéntricas.

Ya hemos dicho antes que la formulación del modelo es como sigue:

De lo que se deduce que las soluciones de X' Y' y Z' serían:

Hay que tener en cuenta que los parámetros de transformación
nos proporcionan los giros Rx, Ry, Rz en segundos sexagesimales. Deberemos
pasar estos segundos a grados decimales y luego a radianes (grados decimales =
segundos/60/60; radianes = grados decimales * p
/ 180). También hay que tener en cuenta que el factor de escala nos
viene en partes por millón, por lo que tendremos que dividir la cantidad
que nos facilitan por un millón para poder introducirla en el modelo.
Teniendo en cuenta esto, transformamos los parámetros originales:

Con los parámetros ya transformados, procedemos a resolver el cambio
de datum:

Estas coordenadas siguen siendo cartesianas geocéntricas ECEF, pero
están ya en el datum de destino ED50. Hemos realizado el cambio de datum
y ahora lo que nos queda es el proceso inverso de conversión de
geocéntricas a geodésicas y posteriormente a UTM, con lo que
terminaremos el ejercicio.

Paso de geocéntricas
a geodésicas en datum destino.

Para el paso de coordenadas geocéntricas a geodésicas,
utilizaremos las siguientes fórmulas:

Como vemos, se trata de sacar tres parámetros: latitud
geodésica, longitud geodésica y altitud elipsoidal. Para ello, no
obstante, debemos calcular previamente diversos parámetros que son
necesarios. Como ya hemos realizado el traspaso de datum, estamos operando en
el datum de destino (ED50). De este datum, conocemos los parámetros del
semieje mayor y semieje menor del elipsoide asociado, que es el elipsoide de
Hayford, también llamado Internacional de 1924 ó Internacional
1909. Sus parámetros son:

Aplicando las fórmulas expuestas para el cálculo de la
excentricidad al cuadrado y la segunda excentricidad al cuadarado, tenemos:

También podemos calcular los dos valores auxiliares p y q:

Con estos valores, ya estamos en disposición de calcular la latitud
geodésica (j), la longitud
geodésica (l), según las
formulaciones anteriormente expuestas:

Una vez que tenemos latitud y longitud geodésicas, podemos calcular
también el valor de N:

Conociendo N, calculamos también la altitud geodésica (h):

Como cabe suponer, la latitud y longitud geodésicas obtenidas
están expresadas en radianes, y para obtener su valor en grados
sexagesimales dividimos las cantidades obtenidas por el cociente de p/180:

Si pasamos los grados sexagesimales expresados en notación decimal a
expresarlos en grados, minutos y segundos, obtenemos las geodésicas
finales:

Paso de Geodésicas a
UTM en el mismo datum destino.

En un artículo de esta web se explicaba cómo realizar el paso
de Geodésicas a UTM con origen y destino en un mismo datum, por lo
que no describiremos el proceso. Si el lector precisa conocer dicho
procedimiento, puede acceder al artículo aquí.

Tan sólo baste decir que las coordenadas UTM resultantes de la
conversión de las geodésicas anteriormente expuestas resultan ser
las siguientes:

Vértice de
Carbonera

X UTM

Y UTM

l

j

Datum ED50 (convertidas con transformación de 7
parámetros)

448610.60

4377788.16

-3º 35'
53''0728

39º 32'
51''2207

Con estas coordenadas UTM ya convertidas en datum destino hemos concluido el
ejemplo de cambio de datum.

5. CONVERSOR DE COORDENADAS
EN HOJA DE CÁLCULO EXCEL.

He
creado una hoja de cálculo con la implementación de las
fórmulas comentadas. Esta hoja, realizada en formato Microsoft®
Excel, permite ver cómo se van calculando todos los parámetros en
cadena cuando se introducen unas determinadas coordenadas a convertir. En ella
se incluyen todos los cálculos descritos (incluido el paso de UTM a
geodésicas y de geodésicas a UTM). Incorporan tres juegos
distintos de parámetros adecuados todos ellos para la España
peninsular, si bien el usuario puede introducir sus propios parámetros
de transformación para su región del globo. También se
pueden seleccionar diferentes elipsoides a partir de una lista predefinida y
con posibilidad de incluir otros nuevos por parte del usuario.

Descarga
la Hoja de Cálculo con la Conversión de Datum.

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vas a hacer un uso comercial del contenido, realiza una donación
voluntaria al proyecto en http://recursos.gabrielortiz.com/donaciones.htm.
Si el contenido del texto te resulta útil y te ayuda a aprender, te
pido que cites esta página web en tu trabajo.

6. CONCLUSIONES.

Es fundamental para el geógrafo conocer el datum en el que se
encuentra cada conjunto de datos, así como tener la habilidad de
transformar fuentes de datos de un datum a otro, conociendo las implicaciones,
riesgos y condicionantes involucrados en el proceso.

Existen múltiples procedimientos para realizar los cambios de datum.
El modelo Bursa-Wolf con transformación de 7 parámetros es una de
las posibilidades más extendidas para este procedimiento ya que tiene
capacidad suficiente para realizar transformaciones de media y alta precisión.

Si comparamos el resultado de las UTM obtenidas en el ejercicio realizado
con las coordenadas calculadas por el IGN de forma segura para el mismo
vértice, observamos que los errores cometidos son de 0.54 m en el valor de X y de
0.45 m
en el valor de Y. Es decir, el punto calculado con nuestra
transformación se encuentra a 0.7 m del punto calculado por procedimientos
más precisos por el IGN. Esta magnitud de error es un excelente
resultado si tenemos en cuenta la calidad de los parámetros utilizados
en el proceso, que como se ha dicho sirven para la mayor parte del
ámbito de la Península Ibérica y tienen una
precisión anunciada mejor que 1.5 metros.

Los resultados son tan buenos porque estamos operando con un vértice
geodésico correspondiente a la parte central de la red geodésica
española, y que indudablemente mantiene una calidad mucho mayor que
muchos de los vértices geodésicos de las zonas periféricas
costeras de España, donde la imposibilidad de compensar de forma
óptima la antigua red de triangulación por la presencia del mar
impone unas mayores tensiones en la red. Así, hemos realizado pruebas con
algunos otros vértices de la red geodésica española
situados en estas condiciones periféricas y los errores en la
transformación de datum con la metodología que hemos descrito
arroja errores bastante mayores, incluso por encima de la precisión
estimada para los parámetros utilizados: Garita (en Cantabria) con un
error de 1.88 m,
Llatias (también en Cantabria), con un error de 2.26 m, Miramundo (en
Huelva) con un error de 1.90
m. Esta situación contrasta con las precisiones
de los vértices situados en la parte central del país, donde el
comportamiento de los parámetros de transformación es
sustancialmente superior. Ya hemos hablado del vértice de Carbonera (en
Toledo), con un error de 0.7 m,
o Los Cerrillos (en Madrid) con un error de 0.35 m.

Esto demuestra la importancia de realizar la transformación de datum
con unos parámetros adecuados a nuestra zona y a nuestra
precisión. De nada sirve aplicar toda la metodología expuesta
anteriormente si no disponemos de los parámetros adecuados y con el
nivel de precisión apropiado para nuestra aplicación.

Por último, termino como empecé: pidiéndote que si
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Gabriel Ortiz.